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title: 第六章  代数系统的一般概念
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6.1 代数系统

［单选］设A为任意集合，一个从A&quot;到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果BCA，则称该n元运算是封闭的。

［单选、计算、证明］运算的性质。

设A为任意非空集合，＊和。是集合A上的二元运算，

（1）封闭性：对 Va，bEA，若有a＊bEA，则称运算＊关于集合A是封闭的。

（2）结合律：对Va，b，cEA，若有（a＊b）＊c＝a＊（b＊c），则称运算＊在A上是可结合的，或称运算＊在集合A上满足结合律。

（3）交换律：对Va，bEA，若有a＊b＝b＊a，则称运算＊在A上是可交换的，或称运算＊在集合A上满足交换律

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第6章代数系统的一般概念

（4）幂等律：若对VaEA，有a＊a＝a，则称运算＊在A上是幂等的，或称运算＊在集合A上满足幂等律。


（5）分配律：若对Va，b，cEA有

a。(b\*c)=(a。b)\*(a。c)

和 (b\*c)。a=(boa)\*(coa)

成立，则称运算。对运算＊是可分配的，或称运算。对运算＊满足分配律。

（6）吸收律：若。和＊均满足交换律，且对于Va，bEA都有

a。(a\*b)=a

和 a\*(a。b)=a

则称运算。和运算＊是可吸收的，或称运算。和＊满足吸收律。

［单选、填空、计算］幺元、零元、逆元。

1．幺元

设＊是集合A上的二元运算，若存在eLEA（或erEA），使得对于VxEA，eL＊x＝x（或x＊er＝x），则称eL（或er）是A中关于＊运算的左（或右）幺元。如果A中的一个元素e，它既是左幺元，又是右幺元，则称e是A中关于运算＊的幺元（或单位元）。

显然对VxEA，e＊x＝x＊e＝x。

2．零元

设＊是定义在集合A上的二元运算，如果有一个元素OLEA，对于任意元素xEA都有OL＊x＝OL，则称OL为A中关于运算＊的左零元；如果有一个元素O，EA，对于任意元素xEA都有x＊O，＝O，，则称O，为A中关于运算＊的右零元。如果A中的一个元素O，它既是左零元，又是右零元，则称O为A上关于运算＊的零元。

显然对VxEA，有O＊x＝x＊O＝0。

3．逆元

设代数系统（A，＊＞中，e是关于运算＊的单位元。若对A中某个元素a，存在A的一个元素b，使得b＊a＝e，则称b为a的左逆元；若a＊b＝e，则称b为a的右逆元。若一个元素b，既是a的左逆元，又是a的右逆元，则称b为a的一个逆元，记作a-。

6.2 群与半群

［计算、证明］半群、独异点、群、循环群、有限群。


21·

·22· 离散数学

1．半群

设V＝＜S，＊＞是代数系统，＊是集合S上的二元运算，若运算＊是封闭且是可结合的，则称V为半群。

2．独异点

若半群（S，＊）中存在一个幺元，则称＜S，＊）为独异点（或含幺元半群）。

3．群

设＜G，＊＞是一个独异点，其中G是非空集合，＊是G上一个二元运算，对于VxEG都有逆元x-1存在，则称＜G，＊＞是一个群。

4．循环群

设（G，＊）是一个群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。

若a为生成元，G＝＜a＞表示由a生成的循环群。G＝｛a°＝e，a1，a2，··，a＂1｝是n阶有限循环群。G＝｛···，a-1，a°＝e，a1，a2，···｝为无限循环群。

5．有限群

设＜G，＊）是一个群，如果G是有限集，那么称（G，＊》是一个有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为｜G｜。

若群G中只含有一个元素，即G＝｛e｝，｜G｜＝1，则称G为平凡群。

设＜G，＊）是群，e是幺元。对于aEG，使得ak＝e成立的最小正整数k称为a的阶，记作｜a｜，a称为k阶元。若不存在这样的正整数k，则a称为无限阶元。

［单选、证明］群的性质。

设＜G，＊》是一个群，Va，bEG，Vn，mEZ有

(1)(a-1)-1=a。

(2)(ab)-1=b-1a-1。

(3)a&quot;am=a&quot;+m。

(4)(a&quot;)m =a&quot;m。

（5）若G为Abel群，则（ab）＂＝a＂b＂。

＜G，＊》是群，则G满足消去律，即对Va，bEG，

（1）若a＊b＝a＊c，则b＝c。

第6章 代数系统的一般概念

（2）若b＊a＝c＊a，则b＝c。 ·23·

【单选、填空］设（G，＊）是一个群，5是G的非空子集，如果（8，＊）也构成群，购称（S，＊》是（G，＊）的一个子群，记作S≤G。

［证明］子群的判定。

（1）设（G，＊）是一个群，H是G的非空子集，则H≤G当且仅当下面两个条件成立：①Va，bEH，有a＊bEH。

②VaEH，有a-1EH。

（2）设（G，＊）是一个群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当Ya，bE H，有a＊b-1EH。

（3）设（G，＊）是一个群，H是G的有穷非空子集，则H是G的子群当且仅当Va，bEH，有a＊bEH。

6.3 环与域

［单选、填空、证明］环的定义。

设（A，十，＊）是一个代数系统，十和＊是二元运算，如果满足

（1）（A，＋）是Abel群。

（2）（A，＊）是半群。

（3）运算＊对于运算＋是可分配的。

则称くA，＋，＊）为环。

［单选、填空、证明］环的运算性质。

设（A，十，＊》是一个环，则对Va，b，cEA，有

(1)a\*0=0\*a=0。

(2)a\*(-b)=(-a)\*b=-(a\*b)。

(3)(-a)\*(-b)=a\*b。

(4)a\*(b-c)=a\*b-a\*ca

(5)(b-c)\*a=b\*a-c\*a。

［单选、填空、计算］可交换环、含幺元的环、无零因子环、整环。

设（A，十，＊）是环，

（1）如果环中乘法＊满足交换律，则称＜A，＋，＊）是可交换环。

离散数学


（2）如果环中乘法＊存在幺元，即对VaEA，均有1＊a＝a＊1＝a，则称（A，＋，＊）为含幺元的环。1称为环（A，十，＊）的幺元。

（3）对于Va，bE R，若a＊b＝0，必有a＝0或b＝0，则称＜A，＋，＊》是一个无零因子环。（4）若（A，十，＊》既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称（A，十，＊）为整环。

设（R，＋，＊＞是一个整环，且｜R｜≥2，若对VaER＊＝R-｛0｝，都有a-1ER，则称＜R，＋，＊＞是域。
